Raciocínio Lógico: Proposições e conectivos

O que são proposições

Uma proposição é uma frase que exprime um pensamento com um sujeito, verbo e sentido completo. Por exemplo: "Pedro é mais velho que João". Essa frase tem sujeito, verbo e sentido completo. Para ficar mais fácil usamos letras para representar as proposições:

p: "Mariana mora em São paulo"
q: "A lua gira em torno do sol"
r: "Larissa tem 3 anos"
f: "5 × 4 = 20"

A partir dessas proposições acima podemos deduzir que são verdadeiras ou falsas. Toda proposição tem um valor lógico Verdadeiro (V) ou falso (F), porém existe algumas frases que não são proposições, pois não aceitam valores lógicos V ou F. Abaixo você pode ver uma lista com algumas frases que não são proposições como perguntas, exclamações, ordens, sentenças abertas e paradoxos.

Perguntas: "Qual sua idade?", "Tudo bem?"
Exclamações: "Parabéns!", "Que susto!"
Ordens: "Vá lavar a louça", "Estude"
Sentenças abertas: "x + y = 18", "Ele é bom"
Paradoxos: "Esta sentença é falsa"

Então, pode-se concluir que proposição é uma frase que tem um sujeito definido, verbo, sentido completo e que não seja perguntas, exclamações, ordens (sentenças imperativas), setenças abertas e paradoxos. O próximo passo é entender o que são os conectivos.

O que são os conectivos

Os conectivos lógicos são extremamente simples, são usados para unir ou modificar proposições gerando novas sentenças.

Os conectivos lógicos são:

• Negação ($\sim$)
• Conjunção ($\wedge$) 
• Disjunção ($\vee$)
• Condicional ($→$)
• Bicondicional ($↔$)
• Disjunção exclusiva ($\veebar$)

Vamos ver alguns exemplos levando em consideração que $p$ e $q$ tenham os seguintes valores:

$p = $ Pedro é mais velho que João

$q = $ Ana é mais nova que Pedro

Negação: "não" (representado pelo simbolo $\sim$ )

Exemplo: $\sim p$ (lê-se: não p)

$\sim p =$ Pedro não é mais velho que João

Conjunção "e" (representado pelo simbolo $\wedge$ )

Exemplo: $p \wedge q$ (lê-se: p e q)

$p \wedge q = $ Pedro é mais velho que João e Ana é mais nova que Pedro 

Disjunção "ou" (representado pelo simbolo $\vee$ )

Exemplo: $p \vee q$ (lê-se: p ou q)

$p \vee q = $ Pedro é mais velho que João ou Ana é mais nova que Pedro 

Condicional "Se, então" (representado pelo simbolo $→$ )

Exemplo: $p → q$ (lê-se: Se p, então q)

$p → q$ = Se Pedro é mais velho que João, então Ana é mais nova que Pedro

Bicondicional "Se e somente se" (representado pelo simbolo $↔$ )

Exemplo: $p↔q$ (lê-se: p, se e somente se q)

$p↔q = $ Pedro é mais velho que João, se e somente se Ana é mais nova que Pedro.

Disjunção exclusiva "Ou..., ou..., Mas não ambos" (representado pelo simbolo $\veebar $
Exemplo: $p \veebar q$ (lê-se: Ou p, ou q, mas não ambos)
$p \veebar q = $ Ou Pedro é mais velho que João, ou Ana é mais nova que Pedro, mas não ambos.

Princípios lógicos

Existem 3 principios lógicos:

• Princípio do Terceiro excluído
• Princípio da Não Contradição
• Principio da Identidade

Bom, agora vamos a explicação! 

Princípio do Terceiro excluído: Uma proposição só pode ter dois valores lógicos verdadeiro ($V$) ou falso ($F$). Não existe um outro valor como "meio verdade" ou "meio falso".

Principio da Não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo, ou a proposição é somente verdadeira ou é somente falsa.

Principio da identidade: Uma proposição recebe somente um valor lógico V ou F. Por exemplo: Se a proposição r  = "A lua gira em torno da terra" é verdadeira, então representamos r = V. 

Por esse motivo existem algumas sentenças que não podem receber um valor lógico como as sentenças "Parabéns!", "Tudo bem?", "Vá lavar a louça!"

Agora você já está apto para resolver alguns exercicíos

Exercícios de raciocínio lógico: conectivos e proposições:

1. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de bicondicional, conjunção, disjunção e negação, respectivamente.

a) $p → q$, $p \wedge q$, $p \vee q$, $\sim (p → q)$
b) $p ↔ q$, $p \wedge q$, $p → q$, $\sim b$
c) $p \veebar q$, $p \vee q$, $p \wedge q$, $\sim q$
d) $p ↔ q$, $p \wedge q$, $p \vee q$, $\sim p$
e) $p ← q$, $p ↔ q$, $\sim p$, $p \veebar q$

2. Analise a seguinte proposição "Pedro é velho, mas Paula é mais nova que Pedro", qual o conectivo usado nessa proposição:

a) disjunção
b) negação
c) condicional
d) conjunção
e) bicondicional

3. Considere as proprosições p = "Ana estudou muito" e q = "Ana passou no concurso". Qual a forma correta de representar a seguinte proposição "Se Ana não estudou muito, então Ana não passou no concurso":

a) $p → q$
b) $\sim p \vee q$
c) $\sim p → \sim q$
d) $\sim p ↔ q$
e) $\sim p \vee \sim q$

4. (IBGP - 2017) As proposições abaixo listadas falam sobre Rose, Laura, Daniel e Rafael, sendo que, entre parênteses, está indicado se a proposição é verdadeira (V) ou se é falsa (F):  Laura tem 20 anos. (F) Daniel é marido de Ludmila. (V) Rose é irmã caçula de Laura. (F) Rafael é filho natural de Daniel. (V) Daniel já foi casado duas vezes. (V)

Levando em consideração as proposições listadas, é CORRETO afirmar que:

a) Daniel é mais velho do que Laura
b) Rose é tia de Rafael.
c) Rose tem mais do que 20 anos.
d) Rafael é mais novo que Daniel.

Respostas:
1 - d
2 - d
3 - c
4 - d