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Ângulos e medidas

1.0 Introdução
A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulo e METRIEN - medida, significando Medida de Triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Na trigonometria plana é estudado as figuras geométricas em um plano e na trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera. As funções trigonométricas mais antigas eram usadas nas áreas de levantamento topográficos, navegações e engenharia. Essas funções também  tem  um papel muito importante  nos estudos de fenômenos vibratório - som, luz, eletricidade, etc.

1.1 Ângulo plano

O ângulo plano CÂB é formado por duas semi-retas que são CA e AB. O ponto A é chamado de vértice e as duas semi-retas são chamados de lados dos ângulos. 
Figura - 0


Devemos ver o angulo no plano como sendo a reta inicial AC girando até formar a reta AB, ou seja, AC é o lado inicial e AB é o lado final. Esse ângulo na figura - 0 é chamado de angulo positivo pois a direção com que a reta inicial vai até a reta final é anti - horaria. Se as semi - retas estivessem indo na direção horaria  o ângulo seria chamado de ângulo negativo. Para entender melhor observe as figuras -1(a) e 1(b).

figura - 1(a)
figura - 1(b)

. 1.2 Medidas de ângulos

Sabemos que uma circunferência tem 360º, um grau ( º ) é subentendido como 1/360 da circunferência do circulo. Outra coisa importante é que circulo é diferente de circunferência.
A circunferência é só um contorno e o circulo é a circunferência com um preenchimento. veja a diferença:


Circunferência
circulo


O minuto ( ' ) é 1/60 do grau e um segundo ( '' ) é 1/3600 do grau ou 1/60 do minuto.
Então concluímos que:
1º = 60' = 3600''
1' = 60''

Agora vamos fazer algumas transformações de minutos para graus.
Para fazer uma transformação, não importa qual unidade seja, se é km, min, s, rad, graus, horas,  posso tanto usar a regra de três quanto o método de análise dimensional. Neste blog eu farei as transformações com o método de analise dimensional pois é mais fácil do que a regra de três. 
Quando o numerador é igual ao denominador o resultado sempre será 1. Agora observe que 1º é igual a 60', é necessário fazer isso para cortar o minuto do denominador com o minuto de 120, assim restando graus. Para saber mais sobre analise dimensional tem alguns links de videos na final dessa postagem.

Minutos para graus

Mais exemplos:
Segundos para minutos e se possível para graus
transformamos 5400'' em 90' e como 90' é maior que 60' que é 1º então dá para passar 90' para graus. 
Mais exemplos:
$$78º17'=$$$$78º+17' \times \frac{1º}{60'} =$$$$=78º+\frac{17º}{60}$$$$78º +0,29º$$$$78,3º$$

$$58º22'16"=$$$$=58º+22' \times \frac{1º}{60'} + 16" \times \frac{1º}{3600"}=$$$$=58º+0,36º+0,004º = 58,37º$$

$$29,23º=$$
$$29º+0,23º$$
$$29º+0,23º \times \frac{60'}{1º}$$
$$29º+13,8'$$
$$29º+13'+0,8'\times \frac{60''}{1'}$$
$$29º13'+48''$$
$$29º13'48''$$

Acabamos de ver as transformações envolvendo graus, minutos e segundos.

Videos de Análise Dimensional




Referencias.
Ayres Jr., Frank; Moyer, Robert E.. Teoria e problemas de trigonometria . Porto Alegre: BOOKMAN, 2003. 215p. ISBN 85-363-0182-1

GOLDSTEIN, Larry J; SCHNEIDER, David I; LAY, David C. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. 10. ed., reimpr. 2007. Porto Alegre: Bookman, 2006. 692p. 9788856305615

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(a) $\frac{2}{3} \times 5 \div \frac{6}{8} = $


(b) $\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} =$


(c) $\frac{2}{3}\times \frac{5}{3}=$


(d) $\frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8}=$


(e)$\frac{9}{8} \times 4 \times 2 =$


(f) $\frac{1}{2} \div \frac{5}{6}=$


(g)$\frac{2}{3}\div \frac{4}{5}=$


(h)$\frac{4}{5} \div \frac{7}{4} \div 6=$


(i)$ \frac{2}{9} \div 3\times \frac{7}{8}=$


(j)$\frac{7}{8} \times 9 \div 3=$


(k)$ 8 \div 7 \div 2=$


Respostas com resolução:

(a)$\frac{2}{3} \times 5 \div \frac{6}{8} = \frac{80}{18} =\frac{40}{9}$


(b)$\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} =\frac{6}{6} = 1$


(c)$\frac{2}{3}\times \frac{5}{3}= \frac{10}{9}$


(d)$\frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8}=\frac{105}{192}$


(e)$\frac{9}{8} \times 4 \times 2 = 9$


(f) $\frac{1}{2} \div \frac{5}{6}= \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$



(g)$\frac{2}{3}\div \frac{4}{5}= \frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$


(h)$\frac{4}{5} \div \frac{7}{4} \div 6=\fra…

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