Radianos

Definição de radianos:

O radiano é uma unidade de medida angular utilizada na trigonometria e na análise matemática. Ele é amplamente utilizado para medir ângulos em termos de comprimentos de arcos em uma circunferência.

Formalmente, um radiano é definido como o ângulo subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Em outras palavras, se um arco de uma circunferência tem o mesmo comprimento que o raio dessa circunferência, então o ângulo subtendido por esse arco é igual a um radiano. Veja a imagem abaixo:

Devido a essa definição, um círculo completo tem um arco cujo comprimento é igual à circunferência completa, que é igual a 2πr, onde r é o raio da circunferência. Portanto, um círculo completo contém 2π radianos (ou aproximadamente 6,2831 radianos).

O uso de radianos é vantajoso em muitos cálculos matemáticos, especialmente na trigonometria, pois simplifica as fórmulas e equações envolvendo funções trigonométricas. Além disso, os radianos são considerados uma medida "natural" para ângulos, uma vez que estão diretamente relacionados ao comprimento do arco em uma circunferência.

Como trasformar de Graus para radianos ou radianos para graus:

Para converter ângulos em graus para radianos ou radianos para graus, você pode usar a seguinte fórmula na imagem abaixo:

O perimetro da circunferência, ou seja, a medida da circunferência é 2πr = 360º então 2πrad = 360º

Assim obtemos:

Em resumo, o radiano é uma medida angular baseada em comprimentos de arcos em uma circunferência, sendo amplamente utilizado em cálculos trigonométricos e matemáticos.

Para que o ângulo A valha 1 rad é necessário que o arco AB tenha o mesmo valor que o raio da circunferência.

Exemplos:

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1 - Transforme as medidas em radianos:
a) 240º
b) 315º
c) 45º

Resolução:

pi=3,14159
a)$$1grau = \frac{π/180º}$$$$240º = 240º \times \frac{\pi}{180º}rad$$$$240º = 4,18rad$$
b)$$1grau=\frac{π/180º}$$$$315º = 315º \times \frac{\pi}{180º}rad$$$$315º = 5,49rad$$
c) 

1 grau = π/180º

45º = 45º * π/180º rad

45º = 0,78 rad

2 - transforme as medidas em graus:
a) $\frac{π}{2}rad$
b)$\frac{5π}{6}rad$
c)$\frac{3π}{4}rad$

Resolução:
a) 

$$1rad =\frac{180º}{\pi}$$

$$\frac{π}{2}rad = \frac{\pi}{2}rad \times \frac{180º}{\pi}$$

$$\frac{π}{2}rad = 90º

b)

$$1rad =\frac{180º}{π}$$

$$\frac{5π}{6}rad = \frac{5\pi}{6}rad \times \frac{180º}{\pi}$$

$$\frac{5π}{6}rad = 150º

c)

1rad =180º/π

3π/4 rad = 3π/4rad * 180º/π

3π/4 rad = 135º

Exercícios

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1 - Transforme as seguintes medidas em radianos:

a) 30º

b) 135º

c) 210º

d) 18º

e) 300º

f) 270º

g) 25º30'

2- Transforme as seguintes medidas de ângulos em graus:

a) π/3 rad

b)3π/4 rad

c) 2 rad

d) 2/5 rad

e) 5π/9 rad

Respostas:

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1-
a) π/6rad
b) 3π/4 rad
c) 7π/6 rad
d) π/10 rad
e) 5π/3 rad
f) 3π/2 rad
g) 0,4451 rad
2-
a) 60º
b) 135º
c) 114,59º ou 114º35,4' ou 114º 35'24"
d) 22,92º ou 22º55,2' ou 22º55'12"
e) 100º

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